Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=1，AA₁=AD=2．点E为AB中点．
（1）求三棱锥A₁-ADE的体积；
（2）求证：A₁D⊥平面ABC₁D₁；
（3）求证：BD₁∥平面A₁DE．

Answer 1

解：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为AB=1，E为AB的中点，所以，，
又因为AD=2，所以，（2分）
又AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，
所以，三棱锥A₁-ADE的体积 ．（4分）
（2）因为AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，
所以AB⊥A₁D．（6分）
因为ADD₁A₁为正方形，所以AD₁⊥A₁D，（7分）
又AD₁∩AB=A，所以A₁D⊥平面ABC₁D₁．（9分）
（3）设AD₁，A₁D的交点为O，连接OE，
因为ADD₁A₁为正方形，所以O是AD₁的中点，（10分）
在△AD₁B中，OE为中位线，所以OE∥BD₁，（11分）
又OE?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE，（13分）
所以BD₁∥平面A₁DE．（14分）
分析：（1）根据AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，可知三棱锥A₁-ADE的高，然后求出三角形ADE的面积，最后利用锥体的体积公式求出三棱锥A₁-ADE的体积即可；
（2）欲证A₁D⊥平面ABC₁D₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁D与平面ABC₁D₁内两相交直线垂直，而根据条件可知AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，又AD₁∩AB=A，满足定理所需条件；
（3）欲证BD₁∥平面A₁DE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BD₁与平面A₁DE内一直线平行即可，根据中位线可知OE∥BD₁，又OE?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE，满足定理所需条件．
点评：本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理以及体积的求法．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．