Question

设S_n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a_n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S_n}有最大项”的（　　）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：利用等差数列的求和公式表示出S_n，整理后，得到等差数列的S_n为关于n的二次函数，利用配方法，即可确定数列的最大项．根据d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S_n的最大值，即为{S_n}中的最大项；反之也然．

解答：解：由等差数列的求和公式得：S_n=na₁+

n(n-1)

2

d，
整理得：S_n=0.5dn²+（a₁-

1

2

d）n，
当d＜0，
∴等差数列的S_n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，
∴S_n有最大值；
反之，当数列{S_n}有最大项时，则S_n为二次函数，且图象是开口向下的抛物线，从而d＜0．
故选A．

点评：本题考查数列的应用，等差数列的求和公式，考查配方法，是一个最大值的问题，结合二次函数的性质来解题，通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．