Question

已知数列{a_n}满足a₁=a₂=2，a₃=3，a_n+2=（n≥2）
（Ⅰ）求a₄，a₅；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列？若存在，求出所有满足条件的λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）写出数列{a_n}中与987相邻的后一项（不需要过程）

Answer 1

解：（I）a₄===5
a₅===8
（II）假设存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列，则
2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），解得λ=1
由a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂）与数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列矛盾
故不存在实数λ，使数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列
（III）a₂=2，a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13，猜想a_n+2=a_n+1+a_n（n≥2）
∴数列{a_n}中与987相邻的后一项为1597．
分析：（I）根据递推关系式a_n+2=直接进行求解即可求出a₄，a₅的值；
（II）假设存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列，然后根据新数列的前三项求出λ，然后验证是否正确即可；
（III）根据前几项总结规律a_n+2=a_n+1+a_n（n≥2），从而写出数列{a_n}中与987相邻的后一项即可．
点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等差数列的确定，同时考查了推理能力，属于中档题．