Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2ax+a2﹣1．
（1）若对任意的x∈R均有f（1﹣x）=f（1+x），求实数a的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值，用g（a）表示其最小值，判断g（a）的奇偶性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2+2ax+a2﹣1对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，

∴函数的对称轴x=﹣a=1，

∴a=﹣1

（2）解：∵f（x）=x2+2ax+a2﹣1=（x+a）2﹣1，其对称轴为x=﹣a，

当﹣a≤﹣1时，即a≥1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，故g（a）=f（x）min=f（﹣1）=a2﹣2a，

当﹣1＜﹣a＜1时，即﹣1＜a＜1时，故g（a）=f（x）min=f（a）=﹣1，

当﹣a≥1时，即a≤﹣1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，故g（a）=f（x）min=f（1）=a2+2a，

∴g（a）= ，

∵g（﹣a）=g（a），

∴g（a）为偶函数

【解析】1、由二次函数的性质可得对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，函数的对称轴x=﹣a=1，∴a=﹣1。
2、由二次函数的图象和性质，当﹣a≤﹣1时，即a≥1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，故g（a）=f（x）min=f（﹣1）=a2﹣2a

当﹣1＜﹣a＜1时，即﹣1＜a＜1时，故g（a）=f（x）min=f（a）=﹣1，当﹣a≥1时，即a≤﹣1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，故g（a）=f（x）min=f（1）=a2+2a，得出函数的解析式，由偶函数定义可证。

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．