Question

【题目】已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|—|x－2|的最大值为a.

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)的最大值为a；当 p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a时，求证：p2＋q2＋r2≥3。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

(1)利用绝对值三角不等式的性质可求；

(2)先求出的值，结合基本不等式可证.

(1)因为,所以f(x)的最大值等于3，所以a＝3，值域为 ；

(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，

∴(p＋q＋r)2＝p2＋q2＋r2＋2(pq＋pr＋qr)＝9

又2pq＋2pr＋2qr≤2(p2＋q2＋r2)

当且仅当p＝q＝r时，等号成立．

因此3(p2＋q2＋r2)≥9从而p2＋q2＋r2≥3.