Question

【题目】若函数f（x）= 有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.[﹣2，+∞）
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由x＞a时，f（x）=﹣2x﹣1递减，可得f（x）＜﹣2a﹣1，无最大值，

函数f（x）= 有最大值，

可得x≤a时，f（x）取得最大值M，且M≥﹣2a﹣1，

由f（x）=﹣（x+1）ex的导数为f′（x）=﹣（x+2）ex，

可得x＞﹣2时，f′（x）＜0，f（x）递减；x＜﹣2时，f′（x）＞0，f（x）递增．

即有f（x）在x=﹣2处取得极大值，且为最大值e﹣2．

若a＜﹣2，则f（x）在（﹣∞，a]递增，可得f（x）≤f（a）=﹣（a+1）ea，

由题意可得﹣（a+1）ea≥﹣2a﹣1，

即有（a+1）ea﹣2a﹣1≤0，

由g（a）=（a+1）ea﹣2a﹣1的导数为g′（a）=（a+2）ea﹣2＜0，（a＜﹣2），

则g（a）在a＜﹣2递减，可得g（a）＞g（﹣2）=﹣e﹣2+3＞0，

则不等式（a+1）ea﹣2a﹣1≤0无实数解．

故a≥﹣2，可得x=﹣2处f（x）取得最大值，且为﹣e﹣2，

由﹣e﹣2≥﹣2a﹣1，

解得a≥﹣ ﹣ ，

综上可得，a的范围是[﹣ ﹣ ，+∞）．

故选：A．

【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义是解答本题的根本，需要知道利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．