【题目】对于函数f(x)= ,存在一个正数b,使得f(x)的定义域和值域相同,则非零实数a的值为( )
A.2
B.﹣2
C.﹣4
D.4
【答案】C
【解析】解:由题意:函数f(x)= ,
若a>0,由于ax2+bx≥0,即x(ax+b)≥0,
∴对于正数b,f(x)的定义域为:D=(﹣∞,﹣ ]∪[0,+∞),
但f(x)的值域A[0,+∞),故D≠A,不合要求.
若a<0,对于正数b,f(x)的定义域为 D=[0,﹣ ].
由于此时函数 f(x)max=f(﹣ )= = = .
故函数的值域 A=[0, ],
由题意,有: = ,
由于b>0,
解得:a=﹣4.
故选C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识,掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的.
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【题目】已知函数f(x)=3x , x∈[﹣1,1],函数g(x)=[f(x)]2﹣2af(x)+3.
(1)当a=0时,求函数g(x)的值域;
(2)若函数g(x)的最小值为h(a),求h(a)的表达式;
(3)是否存在实数m,n同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2 , m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=2|x+1|+ax(x∈R).
(1)证明:当 a>2时,f(x)在 R上是增函数;
(2)若函数f(x)存在两个零点,求a的取值范围.
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【题目】已知定义在R上的连续函数g(x)满足:①当x>0时,g′(x)>0恒成立(g′(x)为函数g(x)的导函数);②对任意的x∈R都有g(x)=g(﹣x),又函数f(x)满足:对任意的x∈R,都有 成立.当 时,f(x)=x3﹣3x.若关于x的不等式g[f(x)]≤g(a2﹣a+2)对x∈[﹣ , ]恒成立,则a的取值范围是( )
A.a∈R
B.0≤a≤1
C.
D.a≤0或a≥1
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【题目】已知点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是,点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过点作直线交曲线于两点,交轴于点,若, ,证明: 为定值.
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【题目】已知函数的定义域为[-1,5],部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示,下列关于的命题:
-1 | 0 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 2 | 1 |
①函数的极大值点为0,4;
②函数在[0,2]上是减函数;
③如果当时, 的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________.
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