Question

（2012•黄冈模拟）（选做题：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
（A）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线一点，CD切半圆于D，CD=

3

，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则半圆的半径长为

1

．
（B）在极坐标系中，已知圆C的圆心为(6，

π

2

)，半径为5，直线θ=α(0≤α≤

π

2

，ρ∈R)被圆截得的弦长为8，则α的值等于

π

3

．

Answer 1

分析：（A）连接OD，则OD⊥DC，在Rt_△OED中，OE=

1

2

OB=

1

2

OD，可得∠ODE=30°．在Rt_△0DC中，由∠DCO=30°、DC=

3

，利用直角三角形中的边角关系求出半径OD的值．
（B）设出圆上任一点的极坐标，利用两点间的距离公式表示出|PC|的长，让其值等于圆的半径5，即可得到圆C的极坐标方程，把直线方程代入圆C的方程，得到一个关于ρ的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出直线被圆截得的弦长，将两根之和与两根之积代入后，然后其值等于8，即可求出sinα的值，由α的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α的值．

解答：解：（A）如图连接OD，则OD⊥DC，在Rt△OED中，∵E是OB的中点，ρ₁-ρ₂                                      
∴OE=

1

2

OB=

1

2

OD，所以∠ODE=30°．
再由△DOE∽△COD可得，在Rt△ODC中，∠DCO=30°．
∵DC=

3

，∴OD=DC•tan30°=

3

×

3

3

=1，
故答案为 1．
（B）设圆C上任一点坐标为P（ρ，θ），圆心C（6，

π

2

），圆的半径r=5，
所以|PC|=

ρ2+36-2ρcos( π 2 -θ)

=5，化简得：ρ²-12ρsinθ+11=0，即为圆C的极坐标方程，
把直线θ=α代入圆C的方程得：ρ²-12ρsinα+11=0．
设直线与圆交于（ρ₁，α₁）（ρ₂，α₂），根据韦达定理得：ρ₁+ρ₂=12sinα，ρ₁ρ₂=11，
所以直线被圆截得的弦长m=|ρ₁-ρ₂|=

(ρ1 -ρ 2)2-4ρ 1•ρ 2

=

(12sinα )2-44

=8，
即 （12sinα）²=64+44，化简得：sin²α=

3

4

，解得sinα=

3

2

．
又α∈[0，

π

2

]，则α=

π

3

，
故答案为  

π

3

．

点评：本题主要考查弦切角的性质和应用，还考查了直线与圆相交的性质，两点间的距离公式，韦达定理及弦长公式，属于基础题．