Question

16．已知f（x）=x²+（a+1）x+b，f（3）=3，其中a，b∈R
（1）若f（x）≥x对任意实数x恒成立，求a，b的值．
（2）求关于x的不等式f（x）＞-9-4a的解集．

Answer 1

分析 （1）运用二次函数的性质，可得判别式小于等于0，解不等式可得a，b的值；
（2）化简不等式f（x）＞-9-4a，可得（x+a）（x+1）＞0，对a讨论，分a=1，a＞1，a＜1三种情况，可得不等式的解集．

解答 解：（1）f（3）=3，可得3a+b=-9．
f（x）≥x即为x²+ax+b≥0，
则x²+ax+b≥0对任意实数x恒成立，
即有△=a²-4b=a²-4（-9-3a）=（a+6）²≤0，
由（a+6）²≥0，即有a+6=0，
解得a=-6，b=9；
（2）不等式f（x）＞-9-4a，即为
x²+（a+1）x-9-3a＞-9-4a，
即有x²+（a+1）x+a＞0，
即（x+a）（x+1）＞0，
当a=1时，（x+1）²＞0，原不等式的解集为{x|x≠-1}；
当a＞1时，-a＜-1，原不等式的解集为{x|x＞-1或x＜-a}；
当a＜1时，-a＞-1，原不等式的解集为{x|x＞-a或x＜-1}．

点评 本题考查二次不等式恒成立问题的解法，同时考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．