Question

已知函数y=f（x）是定义在区间[-

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，

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]上的偶函数，且x∈[0.

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]时，f（x）=-x²-x+5
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数g（x）=-x²-x+5，x∈[0.

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2

]的图象按向量a=（1，b）（b∈R）平移得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式并解不等式h（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义可知先求出函数在区间[-

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，0]上的函数解析式，从而求出函数y=f（x）在区间[-

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2

，

3

2

]上的解析式；
（2）先根据向量平移求出函数h（x）的解析式，然后讨论b的范围，分别求出不等式h（x）＜0的解集．

解答：解（1）当x∈[-

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，0]时，-x∈[0，

3

2

]∴f（-x）=-（-x²）-（-x）+5=-x²+x+5
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）∴f（x）=-x²+x+5，x∈[-

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2

，0]
∴f（x）=

-x2+x+5     x∈[- 3 2 ，0] -x2-x+5      x∈(0 3 2 ]

（2）依题意 y=-x2-x+5，x∈[0，

3

2

]①
将y′=y+b，x′=x+1代入①得 y-b=-（x'-1）²-（x'-1）+52  且x-1∈[0，

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2

]
∴h（x）=-x²+x+5+b且x∈[1，

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2

]
由h（x）＜0    1≤x≤

5

2

  b＜x²-x-5
设y₁=by₂=x²-x-5    x∈[1，

5

2

]
易知y₂在[1，

5

2

]↑，(y2)min=-5，(y2)max=-

5

4

则当b＜-5时，解集为{x|1≤x≤

5

2

}，当b=-5时，解集{x|1＜x≤

5

2

}
当b≥-

5

4

时，解集为φ；
当-5＜b＜-

5

4

时，由x²-x-5-b=0解的x1=

1- 21+4b

2

（舍）x2=

1+ 21+4b

2

解集为{x|

1+ 21+4b

2

＜x≤

5

2

}

点评：本题综合考查了函数的基本性质，已知奇偶性求函数解析式的问题，以及图象的平移和解不等式，属于中档题．