Question

某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？

Answer 1

分析：通过三角形中的余弦定理得到a，b的等量关系；通过换元转化成积是定值；求和的最小值问题；再利用基本不等式解．

解答：解：设BC=am（a≥1，4），CD=bm．连接BD．则BD=b-

1

2

则在△CDB中，(b-

1

2

)2=b2+a2-2abcos60°，
∴b=

a2- 1 4

a-1

，
∴b+2a=

a2- 1 4

a-1

+2a，
设t=a-1，t≥

2.8

2

-1=0.4，
则b+2a=

(t+1)2- 1 4

t

+2(t+1)=3t+

3

4t

+4≥7，
等号成立时t=0.5＞0.4，a=1.5，b=4．
答：当AB=3m，CD=4m时，建造这个支架的成本最低．

点评：本题考查解三角形；数学上的换元思想；用基本不等式求函数最值．