Question

解答题

已知函数f(x)＝x²－1(x≥1)的曲线为C₁，曲线C₂与C₁关于直线y＝x对称．

(1)求曲线C₂的方程y＝g(x)；

(2)设函数y＝g(x)的定义域为M，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，求证：|g(x₁)－g(x₂)|＜|x₁－x₂|：

(3)设A、B为曲线C₂上任意不同两点，证明直线AB与直线y＝x必相交．

Answer 1

答案：
解析：

(1)曲线C1和C2关于直线y＝x对称，则y(x)为f(x)的反函数． 　　由y＝x2－1(x≥1)得x＝． 　　∴曲线C2的方程g(x)＝(x≥0)． 　　(2)设x1＞x2∈M，且x1≠x2． 　　则x1－x2≠0且x1≥0，x2≥0． 　　∴|g(x1)－g(x2)|＝|－|＝≤＜|x1－x2|． 　　(3)证明：设A、B为曲线C2上任意不同两点(x1，y1)，(x2，y2)． 　　x1，x2∈M，且x1≠x2，由(2)知 　　|kAB|＝＝||＜1． 　　∴直线AB的斜率|kAB|≠±1． 　　而直线y＝x的斜率为1． 　　∴直线AB与直线y＝x必相交．