Question

若f（x）=log_a（4-3ax）与g（x）=

a

x+1

在区间（0，

1

2

]上均为减函数，则a的取值范围是（　　）

• A．a＞1
• B．1＜a＜

  8

  3

• C．0＜a＜1
• D．0＜a＜1或1＜a＜

  8

  3

Answer 1

分析：先将函数f（x）=log_a（4-3ax）转化为y=log_at，t=4-3ax，两个基本函数，再利用复合函数求解；再利用g（x）=

a

x+1

在区间（0，

1

2

]上为减函数，得出a的取值范围．最后综合两者即可．

解答：解：令y=log_at，t=4-3ax，
（1）若0＜a＜1，则函y=log_at，是减函数，
由题设知t=4-3ax为增函数，需a＜0
故此时无解．
（2）若a＞1，则函y=log_at，是增函数，则t为减函数，需a＞0且4-3a×

1

2

≥0
此时，1＜a≤

8

3

综上：若f（x）=log_a（4-3ax）在区间（0，

1

2

]上均为减函数，实数a 的取值范围是（1，

8

3

]．
又g（x）=

a

x+1

在区间（0，

1

2

]上为减函数，可得a的取值范围是a＞0．
综上所述，则a的取值范围是1＜a＜

8

3

．
故选B．

点评：本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．