Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且存在实数λ使得{

an+λ

2n

}为等差数列，则{a_n}的通项公式是a_n=

n•2ⁿ+1

．

Answer 1

分析：先假设存在一个实数λ符合题意，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数，整理

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

即可求出实数λ，进而求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：假设存在一个实数λ符合题意，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

①
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是与n无关的常数，则

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列
由①知数列{

an+λ

2n

}的公差d=1，
∴

an-1

2n

=

a1-1

21

+（n-1）•1=n．
得a_n=n•2ⁿ+1
故答案为：n•2ⁿ+1．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．解决问题的关键在于由数列{

an+λ

2n

}为等差数列，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数，进而求出对应实数λ的值．