Question

△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量

a

=（a，b），向量

b

=（cosA，3cosB）且

a

∥

b

（1）求证：tanB=3tan A；
（2）若tanC=2，求A的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平行向量与共线向量

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理证得tan B=3tan A．
（2）由tanC=2=-tan（A+B），tan B=3tan A，利用两角和的正切公式求得tanA的值，结合A为锐角，求得A的值．

解答： 解：（1）△ABC中，由向量

a

=（a，b），向量

b

=（cosA，3cosB）且

a

∥

b

，
可得

a

cosA

=

b

3cosB

，即 3acosB=bcosA ①．
再由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，即asinB=bsinA ②，∴用②除以①可得

1

3

tanB=tanA，即tan B=3tan A．
（2）∵tanC=2=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

4tanA

1-3tan2A

，求得tanA=1，或tanA=-

1

3

．
再由tan B=3tan A，可得A为锐角，∴只有tanA=1，∴A=

π

4

．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质、正弦定理、诱导公式、以及两角和的正切公式的应用，属于基础题．