Question

17．若函数f（x）的定义域为A，区间D⊆A，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=4^x-a•2^x-3．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的零点；
（2）当a=-4时，求函数f（x）在[0，2]上的值域，并判断函数f（x）在[0，2]上是否为有界函数；
（3）若函数f（x）在（-∞，0]上是以4为上界的有界函敦，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=-2时，f（x）=4^x+2•2^x-3，解f（x）=0即可得出该函数的零点；
（2）a=-4时，求出f（x）=（2^x+2）²-7，根据x∈[0，2]即可得出2^x的范围，从而得出f（x）的范围，即得出f（x）在[0，2]上的值域，根据有界函数的定义，只要找到一个常数M，使|f（x）|≤M便说明f（x）有界，根据这个方法判断即可；
（3）对f（x）配方得到$f（x）=（{2}^{x}-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-3$，可令2^x=t，t∈（0，1]，设y=f（x），从而得到$y=（t-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-3$，可讨论对称轴$x=\frac{a}{2}$和区间（0，1]的关系，然后根据二次函数的单调性及取得顶点情况和端点取值情况便可得出g（t）在（0，1]上的值域，根据题意知|g（t）|≤4，这样即可得出关于a的不等式，从而得出每种情况下a的取值范围，最后求并集即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=-2时，f（x）=4^x+2•2^x-3=（2^x+3）（2^x-1）=0；
∴2^x=1；
∴x=0；
即函数f（x）的零点为0；
（2）a=-4时，f（x）=4^x+4•2^x-3=（2^x+2）²-7；
x∈[0，2]；
∴2^x∈[1，4]，∴（1+2）²-7≤f（x）≤（4+2）²-7；
即2≤f（x）≤29；
∴f（x）在[0，2]上的值域为[2，29]；
∴存在常数29，使对任意x∈[0，2]，都有|f（x）|≤29；
∴f（x）在[0，2]上为有界函数；
（3）$f（x）=（{2}^{x}-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-3$；
x∈（-∞，0]；
∴2^x∈（0，1]；
令2^x=t，t∈（0，1]，设y=f（x），则：
$y=（t-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-3$，设y=g（t）；
∵f（x）在（-∞，0]上是以4为上界的函数；
∴|g（t）|≤4；
①若$\frac{a}{2}≤0$，即a≤0，g（t）在（0，1]上单调递增；
∴g（0）＜g（t）≤g（1）；
即-3＜g（t）≤-a-2；
∴-a-2≤4；
∴a≥-6；
即-6≤a≤0；
②若0$＜\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2，则g（$\frac{a}{2}$）≤g（t）＜g（0），或$g（\frac{a}{2}）≤g（t）≤g（1）$；
即$-\frac{{a}^{2}}{4}-3≤g（t）＜-3$，或$-\frac{{a}^{2}}{4}-3≤g（t）≤-a-2$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{4}-3≥-4}\\{-a-2≤4}\end{array}\right.$；
∴0＜a＜2；
③若$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2，则g（t）在（0，1]上单调递减；
∴g（1）≤g（t）＜g（0）；
即-a-2≤g（t）＜-3；
∴-a-2≥-4；
∴a≤2；
∴a=2；
综上得实数a的取值范围为：[-6，2]．

点评 考查对有界函数的理解，函数零点的概念及其求法，指数函数的值域，配方处理二次式子的方法，指数函数的单调性，根据二次函数的单调性及取得顶点和端点值的情况求二次函数在一曲间上的值域的方法．