Question

（2011•延庆县一模）对于数列{a_n}，如果存在一个数列{b_n}，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≥b_n，则把{b_n}叫做{a_n}的“基数列”．
（Ⅰ）设a_n=-n²，求证：数列{a_n}没有等差基数列；
（Ⅱ）设a_n=n³-n²-2tn+t²，bn=n3-2n2-n+

5

4

，（n∈N^*），且{b_n}是{a_n}的基数列，求t的取值范围；
（Ⅲ）设a_n=1-e^-n，bn=

n

n+1

，（n∈N^*），求证{b_n}是{a_n}的基数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假设数列{a_n}（a_n=-n²）存在等差基数列{b_n}，且b_n=kn+b，（k，b是实常数），则n²+kn+b≤0对于任意的n∈N^*均成立，与二次函数的图象和性质相矛盾，{a_n}不存在等差基数列．
（Ⅱ）f（n）=a_n-b_n=n2-(2t-1)n+t2-

5

4

，由{b_n}是{a_n}的基数列，知f（n）≥0任意的n∈N^*均成立，令 △=(2t-1)2-4(t2-

5

4

)=-4t+6，当△≤0时，题设成立，；当△＞0时，解得t≤

1

2

，
由此能求出t的取值范围．
（Ⅲ）{b_n}是{a_n}的基数列?a_n≥b_n（n∈N^*）?1-e^-n≥

n

n+1

?（n+1）（1-e^-n）≥n?n+1≤eⁿ，由此能够进行证明．

解答：解：（Ⅰ）假设数列{a_n}（a_n=-n²）存在等差基数列{b_n}，
且b_n=kn+b，（k，b是实常数），
则-n²≥kn+b对于任意的n∈N^*均成立，
即n²+kn+b≤0对于任意的n∈N^*均成立，
与二次函数的图象和性质相矛盾，
所以，假设不成立，
所以{a_n}不存在等差基数列．…（3分）
（Ⅱ）f（n）=a_n-b_n=n2-(2t-1)n+t2-

5

4

，
∵{b_n}是{a_n}的基数列，
∴f（n）≥0任意的n∈N^*均成立，
令 △=(2t-1)2-4(t2-

5

4

)=-4t+6
（1）当△≤0时，即：t≥

3

2

时，题设成立，
（2）当△＞0时，即：t＜

3

2

时，

2t-1

2

＜1，
即二次函数f（n）的对称轴在n=1的左端，
此时，题设成立的等价条件是f（1）≥0，
即：1-(2t-1)+t2-

5

4

≥0，
即t2-2t+

3

4

≥0，
解得t≤

1

2

或t≥

3

2

，
∴t≤

1

2

，
由（1）（2）可知，
t的取值范围是(-∞，

1

2

)∪(

3

2

，+∞)． …（8分）
（Ⅲ）{b_n}是{a_n}的基数列?a_n≥b_n（n∈N^*）?1-e^-n≥

n

n+1

?（n+1）（1-e^-n）≥n?n+1≤eⁿ．
下面用数学归纳法证明n+1≤eⁿ：
①n=1时，1+1=2≤e，成立；
②假设n=k时，不等式成立，即k+1≤e^k，
则n=k+1时，k+1+1≤e^k+1＜e^k+1，不等式也成立，
由①，②得n+1≤eⁿ．
∴{b_n}是{a_n}的基数列．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是数列的知识体系不牢固．解题时要注意数学归纳法和反证法的灵活运用．