Question

杭州市教育局开展支教活动，有五位高级教师被随机分配到A，B，C三个所不同的学校，且每所学校至少分配一名教师．
（1）求甲、乙两位教师同时分配到一个中学的概率；
（2）设随机变量X为这五位教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

，满足条件的事件是甲乙两位教师同时分到一个中学有C₃²A₃³+C₃¹A₃³种结果，根据概率公式得到结果．
（2）根据题意，得到变量的可能取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据变量和概率的值写出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A，五位高级教师被随机分配到A，B，C三个所不同的学校，且每所学校至少分配一名教师，先把五位高级教师分组2，2，1；或3，1，1．基本事件总数

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

=150，
因甲、乙两位教师同时分配到一个中学，也分为两类，一类是甲、乙两位教师同时分配到一个中学，再分配另一位教师到这个中学，一类是甲、乙两位教师同时分配到一个中学后不再分配其它老师到这个中学，满足条件的事件数C₃²A₃³+C₃¹A₃³=36
∴P（A）=

36

150

=

6

25

（2）由题知X取值1，2，3．则
P（X=1）=（

C

1 5

C

2 4

C

3 2

+

C

3 4

A

2 2

）÷（

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

）=

7

15

，
P（X=2）=

2

5

，
P（X=3）=（

C

2 5

A

3 2

）÷（

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+C

3 5

A

3 3

）=

2

15

．
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	7 15	2 5	2 15

E（X）=1×

7

15

+2×

2

5

+3×

2

15

=

5

3

．…（14分）

点评：求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．