Question

10．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）若0＜α＜$\frac{π}{3}$，f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{4}{5}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数的周期性及其求法即可求解．
（2）由题意可求sin（α$+\frac{π}{6}$）的值，结合范围可求cos（α$+\frac{π}{6}$）的值，由cosα=cos[（α$+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，利用两角差的余弦函数公式即可求值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
∴可得$π=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2．
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{3}$，f（$\frac{α}{2}$）=2sin（2×$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（α$+\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{π}{6}$＜α$+\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，sin（α$+\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{5}$，
∴cos（α$+\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
∴cosα=cos[（α$+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α$+\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α$+\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}+2}{10}$．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，同角三角函数关系式的应用，两角差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．