精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
10.已知函数f(x)=2sin(ωx+$\frac{π}{6}$)(ω>0,x∈R)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)若0<α<$\frac{π}{3}$,f($\frac{α}{2}$)=$\frac{4}{5}$,求cosα的值.

分析 (1)由三角函数的周期性及其求法即可求解.
(2)由题意可求sin(α$+\frac{π}{6}$)的值,结合范围可求cos(α$+\frac{π}{6}$)的值,由cosα=cos[(α$+\frac{π}{6}$)-$\frac{π}{6}$],利用两角差的余弦函数公式即可求值.

解答 解:(1)∵函数f(x)=2sin(ωx+$\frac{π}{6}$)(ω>0,x∈R)的最小正周期为π.
∴可得$π=\frac{2π}{ω}$,解得:ω=2.
(2)∵0<α<$\frac{π}{3}$,f($\frac{α}{2}$)=2sin(2×$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$)=2sin(α$+\frac{π}{6}$)=$\frac{4}{5}$,
∴$\frac{π}{6}$<α$+\frac{π}{6}$<$\frac{π}{2}$,sin(α$+\frac{π}{6}$)=$\frac{2}{5}$,
∴cos(α$+\frac{π}{6}$)=$\sqrt{1-si{n}^{2}(α+\frac{π}{6})}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$,
∴cosα=cos[(α$+\frac{π}{6}$)-$\frac{π}{6}$]=cos(α$+\frac{π}{6}$)cos$\frac{π}{6}$+sin(α$+\frac{π}{6}$)sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}+2}{10}$.

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,同角三角函数关系式的应用,两角差的余弦函数公式的应用,属于基本知识的考查.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的全面积为(  )
A.12B.16C.$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$+4D.4$\sqrt{3}$+4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

10.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=1-3x,若在区间[-6,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+3)=0(0<a<1)恰有5个不同的实数根,则a的取值范围是(  )
A.$(\frac{{\sqrt{6}}}{6},\frac{1}{2})$B.$(\frac{{\sqrt{6}}}{6},1)$C.$(\frac{1}{2},1)$D.$(\frac{1}{2},+∞)$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.已知函数f(x)=cosx+$\frac{1}{2}$x,x∈(0,π),则f(x)的单调减区间为[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$].

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

5.数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an恒成立,则a6=(  )
A.8B.13C.21D.5

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.设i为虚数单位,则复数$\frac{3+4i}{i}$的共轭复数为4+3i.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足tanB=$\frac{cos(C-B)}{sinA+sin(C-B)}$,
(1)判断△ABC的形状,并加以证明;
(2)当a=2,∠B=x时,将y=$\frac{b+c+1}{bc}$表示成y=f(x)的形式,并求此函数的定义域,当x为何值时,y=f(x)有最值?并求出最值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.已知函数f(x)=Acos($\frac{x}{4}$+$\frac{π}{6}$),x∈R,且f($\frac{π}{3}$)=$\sqrt{2}$.
(1)求A的值;
(2)设α,β∈[0,$\frac{π}{2}$],f(4α+$\frac{4}{3}$π)=-$\frac{30}{17}$,f(4β-$\frac{2}{3}$π)=$\frac{8}{5}$,求cos(α+β)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.在 (x2-$\frac{1}{x}$)n的展开式所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为0.

查看答案和解析>>

同步练习册答案