Question

4．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，点D，E分别是AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥DC如图（2）所示，M为A₁D的中点，求CM与面A₁EB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CM与面A₁EB所成角的正弦值．

解答 解：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，点D，E分别是AC，AB的中点，
∴AD=CD=2，DE=1，AD⊥DE，CD⊥DE，
将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥DC如图（2）所示，
M为A₁D的中点，
∴DC、DE、DA两两垂直，DE=1，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
C（2，0，0），M（0，0，1），A₁（0，0，2），
E（0，1，0），B（2，2，0），
$\overrightarrow{CM}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，2，-2），
设平面A₁BE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1），
设CM与面A₁EB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2+1}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴CM与面A₁EB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．