Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点F₁作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线T，过该圆锥曲线焦点F₁的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F₁、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：y²=2px（p＞0），
∵抛物线C过点（1，2），
∴2²=2p，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y²=4x．
（Ⅱ）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y²=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l，
交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为2．
证明如下：
设直线AB的方程为x=ty+1，t≠0，
代入y²=4x，消去x，得y²-4ty-4=0．
∵△=16t²+16＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，
∴线段AB中点P的坐标为（2t²+1，2t），
AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t（x-2t²-1），
令y=0，解得x=2t²+3，
即M（2t²+3，0），
∴|FM|=2t²+2，
由抛物线定义知，|AB|=x₁+x₂+2=4t²+4，
∴．
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l，交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则为定值，且定值为2．
分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为：y²=2px（p＞0），由抛物线C过点（1，2），解得p=2．由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y²=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l，
交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为2．
证明：设直线AB的方程为x=ty+1，t≠0，代入y²=4x，得y²-4ty-4=0．△=16t²+16＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，故线段AB中点P的坐标为（2t²+1，2t），AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t（x-2t²-1），令y=0，得M（2t²+3，0），由此能推导出．
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l，交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则为定值，且定值为2．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．