Question

已知：M={a|函数y=2sinax在[-

π

3

，

π

4

]上是增函数}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数f(x)=

x+n

x2+m

在D内没有最小值，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围．再根据f(x)=

x+n

x2+m

在D内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）=

x

x2+m

=

1

x+ m x

，构造新函数h（x）=x+

m

x

，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围．

解答：解：∵M={a|函数y=2sinax在[-

π

3

，

π

4

]上是增函数，可得

T

2

≥

2π

3

且a＞0，即

2π

2a

≥

2π

3

，解得a≤

3

2

，故M={a|a≤

3

2

}
∵N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，所以可得N={b|1＜b≤2}
∴D=M∩N=（1，

3

2

]
∵f(x)=

x+n

x2+m

是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0可得n=0
∴f（x）=

x

x2+m

，又f(x)=

x+n

x2+m

在D内没有最小值
∴f（x）=

x

x2+m

=

1

x+ m x

，
若m≤0，可得函数f（x）在D上是减函数，函数在右端点

3

2

处取到最小值，不合题意
若m＞0，令h（x）=x+

m

x

，则f(x)=

x+n

x2+m

在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：
由于h′（x）=1-

m

x2

，令h′（x）＞0，可解得x＞

m

，令h′（x）＜0，可解得x＜

m

，由此知，函数h（x）在（0，

m

）是减函数，在（

m

，+∞）上是增函数，
当

m

≥

3

2

时，即m≥

9

4

时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意
当

m

≤1时，即m≤1时，函数h（x）在D上是增函数，存在最大值h（

3

2

），不符合题意
当1＜

m

＜

3

2

时，即1＜m＜

9

4

时，函数h（x）在（1，

m

）是减函数，在（

m

，

3

2

）上是增函数，必有h（1）＞h（

3

2

）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m＞

3

2

+

m

3 2

，解得m＞

3

2

，符合题意
综上讨论知，m的取值范围是m＞

3

2

，
故答案为m＞

3

2

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题．