Question

18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0
（1）求A的大小      
（2）若a=2，b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理化简已知等式可得sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围即可得解A的值．
（2）由余弦定理可解得c的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得：acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
⇒sinAcosC-$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC
⇒sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC
⇒$\sqrt{3}$sinA-cosA=1
⇒sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$
⇒A-30°=30°
⇒A=60°，…（6分）
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=3+c²-2c$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$，解得：c=$\frac{\sqrt{3}±\sqrt{7}}{2}$，
∵c＞0，
∴c=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}$…（9分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×$$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}$=$\frac{3}{8}（\sqrt{3}+\sqrt{7}）$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的综合应用，熟练掌握灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．