Question

求下列函数的定义域和值域
（I）y=x^-2；
（II）f（x）=log 2(3x+1)；
（III）y=（

1

4

）^x+（

1

2

）^x+1．

Answer 1

分析：（I）利用分母不为0，可得函数的定义域，从而可得函数的值域；
（II）f（x）=log 2(3x+1)的定义域为R，利用指数、对数函数的性质，可得结论；
（III）y=（

1

4

）^x+（

1

2

）^x+1的定义域为R；换元，利用二次函数的单调性，即可得出结论．

解答：解：（I）y=x-2=

1

x2

∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；值域为（0，+∞）；
（II）f（x）=log 2(3x+1)的定义域为R；
∵3^x＞0，∴3^x+1＞1
∴log 2(3x+1)＞0
∴函数的值域为（0，+∞）；
（III）y=（

1

4

）^x+（

1

2

）^x+1的定义域为R；
设t=（

1

2

）^x，则t＞0，y=t²+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

∵t＞0，∴y=(t+

1

2

)2+

3

4

在(-

1

2

，+∞)单调递增
∴y＞1
∴函数的值域为（1，+∞）．

点评：本题考查函数的定义域和值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．