Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 45°．

【解析】

（1）通过证明AB⊥平面PAD得出面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的大小.

证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，AB⊥AD，

PD⊥底面ABCD，平面ABCD，

∴AB⊥PD，又AD∩PD＝D，∴AB⊥平面PAD，

∵AB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

（2）由（1）AB⊥平面PAD，所以CD⊥平面PAD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

设PD＝DC＝DP＝2，则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），

（﹣2，0，2），（0，2，0），

设平面PAB的法向量（x，y，z），

则，

取x＝1，得（1，0，1），平面ABD的法向量（0，0，1），

设二面角P﹣AB﹣D的大小为θ，则cosθ，θ＝45°，

∴二面角P﹣AB﹣D的大小为45°．