设函数,f(x)=x2-alnx,g(x)=x2-x+m,令F(x)=f(x)-g(x)
(Ⅰ)当m=0,x∈(1,+∞)时,试求实数a的取值范围使得F(x)的图象恒在x轴上方
(Ⅱ)当a=2时,若函数F(x)在[1,3]上恰好有两个不同零点,求实数m的取值范围
(Ⅲ)是否存在实数a的值,使函数f(x)和函数g(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
分析:(I)当m=0时,函数F(x)的图象恒在x轴上方等价于F(x)>0在(1,+∞)上恒成立,将a分离出来,然后研究另一侧函数的最小值即可求出a的范围;
(II)函数F(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=m,在[1,3]上恰有两个相异实根,然后利用导数研究y=x-2lnx在[1,3]的值域即可求出m的范围.
(III)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在实数a的值,使函数f(x)和函数g(x)在公共定义域上具有相同的单调性,再利用导数工具,求出函数的单调区间,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(I)当m=0时,函数F(x)的图象恒在x轴上方等价于F(x)>0在(1,+∞)上恒成立
由m=0,F(x)>0可得-alnx>-x∵x∈(1,+∞)
则
a<记
?(x)=,则F(x)>0在(1,+∞)恒成立
等价于a<?(x)
min(x∈(1,+∞))
又
?′(x)=∴当x∈(1,e)时;?'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,?'(x)>0
故φ(x)在x=e处取得极小值,
也是最小值,即?(x)
min=?(e)=e∴a<e
故a的取值范围是(-∞,e).…(5分)
(II)函数F(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=m,
在[1,3]上恰有两个相异实根.
令
h(x)=x-2lnx,则h′(x)=1-=当x∈[1,2)时,h'(x)<0,当x∈(2,3]时,h'(x)>0
故在[1,3]上h(x)
min=h(2)=2-ln2…(8分)
又h(1)=1,h(3)=3-2ln3∵h(1)>h(3)∴只需h(2)<m≤h(3)
故m的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3].…(9分)
(III)存在
a=,
使得函数f(x)和函数g(x)在公共定义域上具有相同的单调性.…(10分)
因为f(x)和g(x)的公共定义域为(0,+∞)
由g(x)=x
2-x+m知,g(x)在(0,+∞)上单调递增区间是
(,+∞),
单调递减区间是
(0,)…(11分)
由
f(x)=x2-alnx,f′(x)=2x-=若a≤0,则f(x)'>0,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;
若a>0,由f(x)'>0可得2x
2-a>0,
解得
x>由
f′(x)<0可得0<x<故a>0时,函数f(x)的单调递增区间为
(,+∞),
单调递减区间为
(0,)故只需
=,解之得a=.
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的值域、研究闭区间上的值域等有关问题,是一道综合题,属于中档题.