Question

设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x∈［-1,0)时,f(x)=x³-ax(a∈R).

(1)当x∈(0,1］时，求f(x)的解析式；

（2）若a＞3，试判断f(x)在（0，1］上的单调性，并证明你的结论;

（3）是否存在a，使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1？

Answer 1

分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.

解:(1)∵x∈(0,1］时,-x∈［-1,0),

∴f(-x)=(-x)³-a(-x)=ax-x³.

又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x³.

(2)f(x)在（0，1］上单调递增.理由如下：f′(x)=-3x²+a.∵x∈(0,1］,∴x²∈(0,1］.

∴-3x²≥-3.

∵a＞3,∴-3x²+a＞0.故f(x)在(0,1］上为增函数.

(3)假设存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.

∴f′(x)=a-3x².令f′(x)=0,∴-3x²+a=0,

即a＞0时,x=±.又∵x∈(0,1］,∴x=且＜1.∴f′(x)在(0,)上大于0，在（,1）上不小于0.

∴f(x)_极大值=

∴a=时，f(x)有最大值1.

绿色通道:关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.