Question

已知函数f（x）=x²+px+q和g（x）=x+

4

x

都是定义在区间A=[1，

5

2

]上的函数．如果?x∈A，?x₀∈A使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），则y=f（x）在区间A上的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：由已知很容易得到函数g（x）=x+

4

x

 在区间[1，

5

2

]上的最小值为g（2）=4，于是函数f（x）=x²+px+q也在x=2处取到最小值f（2），下面只需代入数值即可求解．

解答：解：由已知函数f（x）=x²+px+q和g（x）=x+

4

x

在区间[1，

5

2

]上都有最小值f（x₀），g（x₀），
又因为g（x）=x+

4

x

 在区间[1，

5

2

]上的最小值为g（2）=4，
f（x）_min=f（2）=g（2）=4，
所以得：

- p 2 =2 4+2p+q=4

，
即：

p=-4 q=8

所以得：f（x）=x²-4x+8≤f（1）=5．

点评：本题考查函数的单调性，利用单调性求解函数在区间上最值的方法，考查二次函数，对勾函数等函数型的性质；考查函数与方程，转化与化归等数学思想方法．