Question

设平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．若存在实数m（m≠0）和角θ(θ∈(-

π

2

，

π

2

))，使向量

c

=

a

+（tan²θ-3）

b

，

d

=-m

a

+

b

tanθ，且

c

⊥

d

．
（I）求函数m=f（θ）的关系式；  
（II）令t=tanθ，求函数m=g（t）的极值．

Answer 1

分析：（I）根据向量

a

、

b

的坐标算出向量

c

、

d

的坐标，由

c

⊥

d

得

c

与

d

的数量积为0，由此建立关于m和θ的关系式，化简整理既得函数m=f（θ）的关系式；
（II）设tanθ=t，由（I）得m是关于t的三次多项式函数，求出导数并讨论导数的正负，可得当t＜-1或t＞1时导数为正数，当-1＜t＜1时导数为负数，由此即可得到函数的极大值、极小值，以及相应的θ值．

解答：解：（I）∵向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴向量

c

=（

3

+

1

2

（tan²θ-3），-1+

3

2

（tan²θ-3））=（

1

2

tan²θ+

3

-

3

2

，

3

2

tan²θ-1-

3

2

3

）
向量

d

=（-

3

m+

1

2

tanθ，m+

3

2

tanθ）
∵且

c

⊥

d

，
∴

c

•

d

=0，即（

1

2

tan²θ+

3

-

3

2

）（-

3

m+

1

2

tanθ）+（

3

2

tan²θ-1-

3

2

3

）（m+

3

2

tanθ）=0
化简整理，得m=

1

4

(tan3θ-3tanθ)(-

π

2

＜θ＜

π

2

)，即为函数m=f（θ）的关系式．
（II）设tanθ=t，得m=g(t)=

1

4

(t3-3t)，t∈R
求导得m′=g′(t)=

3

4

(t2-1)，令g'（t）=0，得t₁=-1，t₂=1
当t∈（-∞，-1），g'（t）＞0，g（t）为增函数；当t∈（-1，1）时，g'（t）＜0，g（t）为减函数；
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，g（t）为增函数．
所以当t=-1，即θ=-

π

4

时，m=g（t）有极大值

1

2

；当t=1，即θ=

π

4

时，m=g（t）有极小值-

1

2

．

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标形式，求参数m关于θ的函数关系式，并求函数的极值，着重考查了向量数量积运算和运用导数研究函数的单调性与极值等知识，属于中档题．