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3.$a=\frac{1}{4}$是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的(  )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

分析 对a分类讨论,利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出.

解答 解:对于:直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0,
当a=0时,分别化为:x+1=0,-x+y-3=0,此时两条直线不垂直,舍去;
当a=-1时,分别化为:-3y+1=0,-2x-3=0,此时两条直线相互垂直,因此a=-1满足条件;
当a≠-1,0时,两条直线的斜率分别为:$-\frac{a+1}{3a}$,$\frac{1-a}{a+1}$,由于两条直线垂直,可得$-\frac{a+1}{3a}$×$\frac{1-a}{a+1}$=-1,解得a=$\frac{1}{4}$或-1(舍去).
综上可得:两条直线相互垂直的充要条件为:a=$\frac{1}{4}$或-1.
∴$a=\frac{1}{4}$是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的充分而不必要条件.
故选:A.

点评 本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.

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