Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，点A，B，C都在椭圆C上，且AB、AC分别过两个焦点F₁、F₂．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过(-

4

9

，0)，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，可得b=c，从而可求椭圆C的离心率；
（II）设弦AB中点坐标（m，n），利用直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过(-

4

9

，0)，求出弦AB中点坐标，从而可求椭圆方程．

解答：解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，
∴2c=2b，∴b=c
∴a=

b2+c2

=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

；
（II）设弦AB中点坐标（m，n），则

- 1 2 m n =2 - 1 2 = 0-n - 4 9 -m

，
∴m=-

8

9

，n=

2

9

，
又2=

2 9

- 8 9 +c

，∴c=1，b=1，a²=2
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．