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已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R).
(1)若函数的值域为[0,+∞),求a的值;
(2)若函数值为非负数,求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
分析:(1)二次函数的值域,可以结合二次函数的图象去解答,这里二次函数图象开口向上,△=0时,值域为[0,+∞)
(2)在(1)的结论下,化简函数f(a),转化为求二次函数在闭区间上的最值问题.
解答:解:(1)∵函数的值域为[0,+∞),即二次函数f(x)=x2-4ax+2a+6图象不在x轴下方,
∴△=0,即16a2-4(2a+6)=0,∴2a2-a-3=0,
解得:a=-1或a=
3
2

(2)由(1)知,对一切x∈R函数值均为非负数,
有△≤0,即-1≤a≤
3
2
;∴a+3>0,
∵f(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-(a+
3
2
)
2+
17
4
,其中  (a∈[-1,
3
2
])

∴二次函数f(a)在[-1,
3
2
]
上单调递减.
∴f(
3
2
)
≤f(a)≤f(-1),即-
19
4
≤f(a)≤4,
∴f(a)的值域为[-
19
4
,4]
点评:本题属于二次函数的值域问题,通常结合二次函数的图象,容易解得问题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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