Question

已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为2，G为AF的中点．
（1）求证：F₁G∥平面BB₁E₁E；
（2）求证：平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（3）求四面体EGFF₁的体积．

Answer 1

分析：（1）根据AF∥BE，AF?平面BB₁E₁E，满足线面平行的判定定理，则AF∥平面BB₁E₁E，同理可证，AA₁∥平面BB₁E₁E，根据面面平行的判定定理可知平面AA₁F₁F∥平面BB₁E₁E，又F₁G?平面AA₁F₁F，根据面面平行的性质可知F₁G∥平面BB₁E₁E；
（2）根据底面ABCDEF是正六边形，则AE⊥ED，又E₁E⊥底面ABCDEF，所以E₁E⊥AE，而E₁E∩ED=E，根据线面垂直的判定定理可知
AE⊥平面DD₁E₁E，又AE?平面F₁AE，最后根据面面垂直的判定定理可知平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（3）根据F₁F⊥底面FGE，则四面体EGFF₁的高为F₁F，然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答：解：
（1）证明：因为AF∥BE，AF?平面BB₁E₁E，
所以AF∥平面BB₁E₁E，（2分）
同理可证，AA₁∥平面BB₁E₁E，（3分）
所以，平面AA₁F₁F∥平面BB₁E₁E（4分）
又F₁G?平面AA₁F₁F，所以F₁G∥平面BB₁E₁E（5分）
（2）因为底面ABCDEF是正六边形，所以AE⊥ED，（7分）
又E₁E⊥底面ABCDEF，所以E₁E⊥AE，
因为E₁E∩ED=E，所以AE⊥平面DD₁E₁E，（9分）
又AE?平面F₁AE，所以平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁（10分）
（3）∵F₁F⊥底面FGE，
VE-GFF1=VF1-GFE=

1

3

S△GEF•FF1=

1

3

×

1

2

×1×2sin120o×2=

3

3

点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．