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    对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数

    f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有两个相异的不动点x1，x2．

    ⑴若x1<1<x2，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证：<m<1；

    ⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范围．

    见解析


    解析:

    (Ⅰ)证明：g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1?且a＞0  ∵x1＜1＜x2＜2

    ∴(x1－1)(x2－1)＜0即x1x2＜(x1＋x2)－1           

    于是

    ＞［(x1＋x2)－1］＝         

    又∵x1＜1＜x2＜2  ∴x1x2＞x1于是有ｍ＝(x1＋x2)－x1x2＜(x1＋x2)－x1＝x2＜1  ∴＜m＜1              

    (Ⅱ)解：由方程＞0，∴x1x2同号

    (ⅰ)若0＜x1＜2则x2－x1＝2

    ∴x2＝x1＋2＞2  ∴g(2)＜0

    即4a＋2b－1＜0       ①

    又(x2－x1)2＝     

    ∴，(∵a＞0)代入①式得

    ＜3－2b，解之得：b＜             

    (ⅱ)若－2＜x1＜0，则x2＝－2＋x1＜－2 ∴g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0  ②

    又代入②得＜2b－1解之得b＞

    综上可知b的取值范围为      

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    （08年黄冈中学一模理） (本小题满分14分)对于函数f(x)，若存在，使成立，则称x0为f(x)的不动点. 如果函数有且仅有两个不动点0，2，且

    （1）试求函数f(x)的单调区间；

    （2）已知各项不为零且不为1的数列{an}满足，求证：；

    （3）设，为数列{bn}的前n项和，求证：

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    科目：高中数学 来源： 题型：

           对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点  已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

    （1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

    （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

    （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值.

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    科目：高中数学 来源：2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷（解析版） 题型：填空题

    对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“布林函数”，区间[a，b]称为函数f(x)的“等域区间”.

    （1）布林函数的等域区间是         .

    （2）若函数是布林函数，则实数k的取值范围是           .

     

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    科目：高中数学 来源：2014届湖南省华容县高一第一学期期末考试数学试卷 题型：解答题

    (本小题满分6分）对于函数f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋bx-b有不动点(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

     

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