Question

（2013•昌平区一模）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；
（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率．（注：方差s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，其中

.

x

为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

Answer 1

分析：（I）先求出乙组同学的平均成绩，再求出甲组同学的平均成绩，可得X的值，利用方差公式可得甲组同学数学成绩的方差；
（Ⅱ）确定所有的事件构成的基本事件空间，这两名同学的数学成绩之和大于180包含的基本事件的空间，即可求出概率．

解答：解：（I）乙组同学的平均成绩为

87+90+90+93

4

=90，甲组同学的平均成绩为90，
所以

80+X+86+91+94

4

=90，所以X=90…（2分）
甲组同学数学成绩的方差为s甲2=

(86-90)2+(89-90)2+(91-90)2+(94-90)2

4

=

17

2

…（6分）
（II）设甲组成绩为86，87，91，94的同学分别为a₁，a₂，a₃，a4，乙组成绩为87，90，90，93的同学分别为b₁，b₂，b₃，b₄，则所有的事件构成的基本事件空间为：
{（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，b₄），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，b₄），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₃，b₃），（a₄，b₄），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₄，b₃），（a₄，b₄）}共16个基本事件．
设事件A=“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A包含的基本事件的空间为{（a₃，b₂），（a₃，b₃），（a₄，b₄），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₄，b₃），（a₄，b₄）}共7个基本事件，
∴P（A）=

7

16

…．（13分）

点评：本题考查方差的计算，考查古典概型概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．