Question

设n为自然数,f(n)=1+++…+.

(1)试证:若m、n∈N^*且m＜n,则f(n)≥f(m)+,并指出取等号的条件;

(2)计算得f(2)=,f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,观察上述结果,推测一般的不等式,并用数学归纳法证明.

Answer 1

(1)证明:由m＜n,得

    f(n)-f(m)=(1++…+)-(1++…+)=++…+≥=.

    ∴f(n)≥f(m)+,其中当且仅当n-m=1时,等号成立.

(2)解:由f(2)≥,f(2²)＞2=,f(8)=f(2³)＞,f(16)=f(2⁴)＞3=,f(32)=f(2⁵)＞,推测当n∈N^*时,f(2ⁿ)≥,下面用数学归纳法证明:

    ①当n=2时,f(2²)=＞,不等式成立.

    ②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即f(2^k)≥.

    那么f(2^k+1)≥f(2^k)+≥+==,

    即当n=k+1时,f(2^k+1)≥,命题成立.

    根据①②可得对于n≥2的自然数n命题成立.