Question

【题目】已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数y=f（x）为奇函数．

理由：当a=0时，f（x）=x|x|+2x，

f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），

∴函数y=f（x）为奇函数

（2）解：f（x）= ，

当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；

当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；

∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，

即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数

（3）解：方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．

①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，

∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；

②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，

∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，

在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，

∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，

关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；

即4a＜t4a＜（a+1）2，

∵a＞1，

∴1＜t＜ （a+ +2）．

设h（a）= （a+ +2），

∵存在a∈[﹣2，2]，

使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，

∴1＜t＜h（a）max，

又可证h（a）= （a+ +2）在（1，2]上单调增，

∴＜h（a）max= ，

∴1＜t＜ ，

③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，

∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，

在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，

∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，

关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；

即﹣（a﹣1）2＜t4a＜4a，

∵a＜﹣1，

∴1＜t＜﹣ （a+ ﹣2），

设g（a）=﹣ （a+ ﹣2），

∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，

∴1＜t＜g（a）max，

又可证g（a）=﹣ （a+ ﹣2）在[﹣2，﹣1）上单调减，

∴g（a）max= ，

∴1＜t＜ ；

综上：1＜t＜ ．

【解析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．