Question

【题目】如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB= ，CE=1，G为AC与BD交点，F为EG中点， （Ⅰ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为正方形， ， ∴AC=2，AC⊥BD，则CG=1=EC，
∵又F为EG中点，∴CF⊥EG．
∵EG⊥面ABCD，AC∩BD=G，BD⊥平面ECF，
∴CF⊥BDBD∩EG=G，∴CF⊥平面BDE
（Ⅱ）

建立如图所示的空间直角坐标系C（0，0，0）， ， [， ，E（0，0，1）
由（Ⅰ）知， 为平面BDE的一个法向量
设平面ABE的法向量n=（x，y，z），
则 即
∴ ∴
从而 ∴二面角A﹣BE﹣D的大小为 ．
【解析】（Ⅰ）先用BD垂直于平面ACE证出CF⊥BD，在直角三角形ECG中证明CF⊥EG，即可由线面垂直的判定定理证明CF⊥平面BDE；（Ⅱ）本题作二面角的平面角不易作出，但图形的结构易于建立空间坐标系，故建立如图的空间坐标系，求出两个平面的法向量由数量积公式求解二面角即可
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．