Question

3．已知S_n是正项数列{a_n}前n项和，对任意n∈N^*，总有S_n=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$，则a_n=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．

Answer 1

分析 通过写出前几项的值，猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴a₁=S₁=$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{2}{{a}_{1}}$，
∴${{a}_{1}}^{2}$=4，
又∵a_n＞0，∴a₁=2，
∵a₂+a₁=$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{2}{{a}_{2}}$，
即$\frac{1}{2}$a₂+2=$\frac{2}{{a}_{2}}$，
解得a₂=2$\sqrt{2}$-2，
∴S₂=a₁+a₂=2+2$\sqrt{2}$-2=2$\sqrt{2}$，
∵S₂+a₃=$\frac{1}{2}{a}_{3}+\frac{2}{{a}_{3}}$，
即2$\sqrt{2}$+a₃=$\frac{1}{2}{a}_{3}+\frac{2}{{a}_{3}}$，
解得：a₃=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，
…
猜测：a_n=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立；
（2）假设当n=k（k≥2）时，有a_k=2（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$），
则S_k=$\frac{1}{2}$a_k+$\frac{2}{{a}_{k}}$=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{2}{2（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）}$=2$\sqrt{k}$，
∴S_k+1=S_k+a_k+1=2$\sqrt{k}$+a_k+1，
又∵S_n=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴2$\sqrt{k}$+a_k+1=$\frac{1}{2}$a_k+1+$\frac{2}{{a}_{k+1}}$，
即$\frac{1}{2}$a_k+1+2$\sqrt{k}$-$\frac{2}{{a}_{k+1}}$=0，
∴${{a}_{k+1}}^{2}$+4$\sqrt{k}$•a_k+1-4=0，
解得：a_k+1=$\frac{-4\sqrt{k}±\sqrt{16k+16}}{2}$，
依题意，a_k+1=2$\sqrt{k+1}$-2$\sqrt{k}$，
即当n=k+1时，a_k+1=2（$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$）成立，
∴a_n=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．

点评 本题考查数学归纳法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．