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(2010•成都一模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,在四边形ABFE中,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=4,AD=AE=EF=2,平面ABFE⊥平面ABCD.
(1)求证:AF⊥平面BCF;
(2)求二面角B-FC-D的大小.
分析:(1)首先利用平面ABFE与平面ABCD互相垂直,结合面面垂直的性质得到AF与CB垂直,然后利用余弦定理在△ABF中计算出BF的长,从而BF2+AF2=AB2,得出AF⊥FB,最后运用直线与平面垂直的判定定理,得到AF⊥平面BCF;
(2)分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则有D(2,0,0),C(2,4,0)E(0,0,2),B(0,4,0).分别求出平面CDEF的法向量与平面BCF的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得.
解答:证明:(1)∵平面ABFE⊥平面ABCD,CB⊥AB,平面ABFE∩平面ABCD=AB,
∴CB⊥平面ABFE,
∵AF?平面ABFE,
∴CB⊥AF,
在直角梯形ABFE中,AB∥EF,∠EAB=90°,AE=EF=2
∴AF=
AE2+EF2
=2
2

∴∠FAB=45°
△ABF中,AB=4,根据余弦定理得:
BF=
AF2+AB2-2AF•AB
=2
2

∴BF2+AF2=AB2
∴AF⊥FB.
∵CB∩FB=B,
∴AF⊥平面BCF.…(6分)
(2)∵平面ABFE⊥平面ABCD,EA⊥AB,平面ABFE∩平面ABCD=AB,
∴EA⊥平面ABCD.
分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
则有D(2,0,0),C(2,4,0)E(0,0,2),B(0,4,0).
DC
=(0,4,0),
DE
=(-2,0,2).
n1
=(x,y,z)为平面CDEF的法向量,
n1
DC
=0
n1
DE
=0
y=0
-x+z=0

令x=1,则z=1,则
n1
=(1,0,1)
由(1)知
n2
AF
=(0,2,2)=2(0,1,1)为平面BCF的法向量.…(10分)
cos<
n1
n2
>= 
n1
n2
n1
|•| 
n2
|
=
1
2
,且B-FC-D为钝角,
∴二面角B-FC-D的大小为120°…(12分)
点评:本题是一道立体几何的综合题,着重考查了平面与平面垂直的性质及直线与平面垂直的判定,考查面面角,考查向量知识的运用,属于中档题.
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