Question

【题目】已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=ax﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．
（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；
（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；
（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e 时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： h（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣1+x2﹣xlna，

则h′（x）=（ax﹣1）lna+2x，

∵a＞1，∴当x＞0时，ax﹣1＞0，lna＞0，

∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．

（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，

则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，

同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，

则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，

即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，

当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，

∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（ +lna）=a﹣ ﹣2lna，

∴令G（a）=a﹣ ﹣2lna，a＞0，

则G′（a）=1+ ﹣ =（1﹣ ）2≥0，

∴G（a）=a﹣ ﹣2lna，在a＞0上为增函数，

∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，

∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，

当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）= +lna．

（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，

∴设F（x）=﹣ x3+ x2lna+c，

∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，

即c=0，则F（x）=﹣ x3+ x2lna．

设切点为B（x0，﹣ x03+ x02lna），则B处的切线方程为：

y﹣（﹣ x03+ x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），

将A的坐标代入得m﹣（﹣ x03+ x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），

即m= x03﹣（1+ lna）x02+x0lna （※），

则原命题等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，

设φ（x）= x3﹣（1+ lna）x2+xlna，

则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），

∵a＞e ，∴ ＞1，

当x∈（﹣∞，1）和（ ，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，

当x∈（1， ）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，

∴φ（x）的极大值为φ（1）= ﹣1﹣ lna+lna= lna﹣ ，

φ（x）的极大值为φ（ lna）= ln3a﹣ ln2a（1+ lna）+ ln2a=﹣ ln3a+ ln2a，

设t=lna，则t＞ ，

则原命题等价为 对t＞ 恒成立，

∴由m≤ t﹣ 得m≤ ，

∵s（t）=﹣ t3+ t2的最大值为s（4）= ，

∴由m≥﹣ t3+ t2，得m≥ ，即m= ，

综上所述当a＞e 时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为 ．

【解析】（1）由已知求出函数的导函数，根据函数单调性和导数的关系即可证明。（2）根据函数的单调性和最值如导数的关系即可求解。（3）求出导函数的解析式结合导数的几何意义求解即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．