Question

已知圆C1：(x+2)2+y2=4及点C₂（2，0），在圆C₁上任取一点P，连接C₂P，做线段C₂P的中垂线交直线C₁P于点M．
（1）当点P在圆C₁上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于A₁，A₂两点，在轨迹E上任取一点Q（x₀，y₀）（y₀≠0），直线QA₁，QA₂分别交y轴于D，E两点，求证：以线段DE为直径的圆C过两个定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据线段C₂P的中垂线交直线C₁P于点M，可得|MC₂|=|MP|，利用|MP|=|MC₁|+2，可知M点轨迹是以C₁，C₂为焦点的双曲线，从而可求点M的轨迹E的方程；
（2）确定直线QA₁，QA₂的方程，进而可求D，E两点的坐标，从而可得以线段DE为直径的圆C的方程，即可得到结论．

解答：（1）解：∵线段C₂P的中垂线交直线C₁P于点M，∴|MC₂|=|MP|，
又∵|MP|=|MC₁|+2，∴|MC₁|-|MC₂|=±2（2＜4）
∴M点轨迹是以C₁，C₂为焦点的双曲线，且2a=2，2c=4
∴点M的轨迹E的方程为x2-

y2

3

=1
（2）证明：A₁（-1，0），A₂（1，0），QA1：y=

y0

x0+1

(x+1)，∴D(0，

y0

x0+1

)
QA2：y=

y0

x0-1

(x-1)，∴E(0，

-y0

x0-1

)
∴DE中点(0，

-3

y0

)
∴以DE为直径的圆方程x2+(y+

-3

y0

)2=(

3x0

y0

)2
∴y=0时，x2=

9x02

y02

-

9

y02

=3
∴以线段DE为直径的圆C过两个定点，定点为(±

3

，0)

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查圆过定点，解题的关键是理解双曲线的定义，确定圆的方程．