Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AD=2，点E在BC上，且AE⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的性质，证出AD⊥AC，结合AE⊥AC，从而AC⊥平面ADE，进而得到AC⊥DE；
（2）过B点作BF⊥AC，垂足为F，利用线面垂直的判定与性质证出BF⊥平面ACD，则BF的长为点B到平面ACD的距离，再在Rt△ABF中利用三角函数的定义，即可算出点B到平面ACD的距离．

解答：解：（I）∵DA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AD⊥AC，…（2分）
∵AE⊥AC，AE、AD是平面ADE内的相交直线，
∴AC⊥平面ADE，
∵DE?平面ADE，∴AC⊥DE．…（6分）
（II）过B点作AC的垂线，垂足为F，
∵DA⊥平面ABC，BF?平面ABC，∴AD⊥BF
∵AC⊥BF，AC、AD是平面ACD内的相交直线，
∴BF⊥平面ACD，
因此BF的长为点B到平面ACD的距离，
在Rt△ABF中，AB=2，∠BAF=180°-120°=60°，
∴BF=ABsin60°=2×

3

2

=

3

，即点B到平面ACD的距离为

3

．

点评：本题给出特殊三棱锥，求证线面垂直并求点到平面的距离．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，及其应用等知识，属于中档题．