Question

（1）已知 0＜α＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，且 3sinβ=sin（2α+β），4tan

α

2

=1-tan²

α

2

，求α+β的值．
（2）化简求值：

1- 3 tan10°

3 +tan10°

+

3 -tan20°

1+ 3 tan20°

+tan20°tan40°tan60°．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用角的等价变换将β=α+β-α，2α+β=α+β+α，将3sinβ=sin（2α+β）展开，只要求出α+β和α的三角函数值，将4tan

α

2

=1-tan²

α

2

变形求出tanα；
（2）利用两角和与差的正切公式及其变形用求值．

解答： 解：（1）∵0＜α＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，且 3sinβ=sin（2α+β），4tan

α

2

=1-tan²

α

2

，
∴3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
整理得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα，
又4tan

α

2

=1-tan²

α

2

，∴

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

1

2

，∴tanα=

1

2

，
∴tan（α+β）=1，
又0＜α＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，∴0＜α+β＜

π

2

，∴α+β=

π

4

；
（2）

1- 3 tan10°

3 +tan10°

+

3 -tan20°

1+ 3 tan20°

+tan20°tan40°tan60°=

1-tan60°tan10°

tan60°+tan10°

+

tan60°-tan20°

1+tan60°tan20°

+

3

tan20°tan40°
=

1

tan70°

+tan40°+

3

tan20°tan40°
=tan20°+tan40°+

3

tan20°tan40°
=tan60°（1-tan20°tan40°）+

3

tan20°tan40°
=tan60°=

3

．

点评：本题考查了三角函数的恒等变形，关键是注意角之间的关系以及函数名称的关系．