Question

已知△OPQ的面积为S，且·=1，=m，S=m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q.

(1)当m∈(1，2)时，求||的最大值，并求出此时的椭圆C方程；

(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且=λ₁，=λ₂请找出λ₁、λ₂之间的关系，并证明你的结论.

Answer 1

分析：(1)先建立适当的坐标系，建立||关于m的函数关系式，再求||最大值m的值，从而求椭圆方程.

(2)可先由特殊情况(如k=0)时寻找λ₁、λ₂的关系，再证过点p的直线斜率为k时，都有λ₁、λ₂满足k=0时λ₁、λ₂的关系式.

解：(1)以O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则p(m，0)，设Q(x₀、y₀)，则=(x₀-m，y₀).

∵·=1，S=m，∴mx₀-m²=1，∴x_O=m+.

    又m·|y₀|=m，∴|y₀|=，∴=.

    设t=m²+,m∈(1，2)，∵t′=2m-＞0，∴t在(1，2)上为增函数，∴当m=2时t最大，即||最大.

    此时P(2，0)，另一焦点P′(-2，0)，∴椭圆方程为=1.

    当k=0时，M(a，0)，N(-a，0),∴λ₁=,λ₂=-.∴λ₁+λ₂=0.

(2)法一：当k≠0时设直线l：y=k(x-2)，

    由消去y得=1，

    即(3+5k²)x²-20k²x+20k²-30=0.

    设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则x₁+x₂=，x₁·x₂=.

∵=λ₁,∴2-x₁=λ₁(x₂-2).=λ₂，∴-5-x₁=λ₂(x₂+5).∵k≠0，∴x₂≠2，x₂≠-5.∴λ₁=，λ₂=.

∴λ₁+λ₂=

=+20=0.

法二：P为椭圆的右焦点，m为右准线，如图.

    则MP=ｅMM′，NP=ｅNN′，

∵=λ₁，

∴λ₁=.

=λ₂，

λ₂=-=-，

∴λ₁+λ₂=0.

评述：①由a=λb得|λ|=，λ的符号取决于a与b的方向.②对于过焦点的直线与圆锥曲线相交时.若涉及求焦点到曲线上的点的距离问题时，用第二定义比较简单.