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(2013•聊城一模)某校高三年级文科共有800名学生参加了学校组织的模块测试,教务处为了解学生学习情况,采用系统抽样的方法,从这800名学生的数学成绩中抽出若干名学生的数学成绩.
并制成如下频率分布表:
分组 频数 频率
[70,80) 4 0.04
[80,80) 6 0.06
[90,100) 20 0.20
[100,110) 22 0.22
[110,120) 18 b
[120,130) a 0.15
[130,140) 10 0.10
[140,150) 5 0.05
合计 c 1
(I)李明同学本次数学成绩为103分,求他被抽取的概率P;
(Ⅱ)为了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态,现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生的成绩,并从这6名学生中再随机抽取2名,与心理老师面谈,求第七组至少有一名学生与心理老师面谈的概率’
(Ⅲ)估计该校本次考试的数学平均分.
分析:(I)根据各组的频率之和等于1,可得b的值,根据某一组的频数和频率求得样本容量c的值,从而求得a的值.再由每个个体被抽到的概率都相等,
可得李明同学被抽到的概率为
1
8

(Ⅱ)求得从第七组抽取的人数为2.从这6名学生中再随机抽取2名,所有的抽取方法共有
C
2
6
种,而第七组没有学生被抽到的方法有
C
2
4
种,
由此求得第七组没有学生被抽到的概率,再用1减去此概率,即得所求.
(Ⅲ)用每一组的平均值乘以该组的频率,相加,即得该校本次考试的数学平均分的估计值.
解答:解:(I)根据各组的频率之和等于1,可得b=0.15,根据
4
c
=0.04,解得样本容量c=100,故a=15.
再由每个个体被抽到的概率都相等,都等于
100
800
=
1
8
,可得李明同学被抽到的概率为
1
8

(Ⅱ)第六、七、八组共有30个样本,用分层抽样方法抽取6名学生的成绩,每个个体被抽到的概率为
6
30
=
1
5

故从第七组抽取的人数为 10×
1
5
=2.
从这6名学生中再随机抽取2名,所有的抽取方法共有
C
2
6
=15种,而第七组没有学生被抽到的方法有
C
2
4
=6种,
故第七组没有学生被抽到的概率为
6
15
=
2
5
,故第七组至少有一个学生被抽到的概率为 1-
2
5
=
3
5

(Ⅲ)估计该校本次考试的数学平均分为 75×0.04+85×0.06+95×0.2+105×0.22+115×0.15+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110.4分.
点评:本题主要考查古典概率及其计算公式,频率分步表的应用,事件和它的对立事件概率间的关系,属于基础题.
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
6
=0
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于点Q(1,0).

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3
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