Question

关于x₁，x₂，x₃的齐次线性方程组

λx1+x2+λ2x3=0 x1+λx2+x3=0 x1+x2+λx3=0

的系数矩阵记为A，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵B≠O，使得AB=O，（O表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；|B|表示行列式B的值，该行列式中元素与矩阵B完全相同）则…（　　）

A．λ=-2，且|B|=0

B．λ=-2，且|B|≠0

C．λ=1，且|B|=0

D．λ=1，且|B|≠0

Answer 1

分析：根据方程组有非零解，于是系数行列式

.

λ 1 λ2 1 λ 1 1 1 λ

.

=0，得出λ=1．写出矩阵A，设矩阵B=

b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

，由AB得到零矩阵，作为选择题，可选取特殊值计算，即可得出答案．

解答：解：方程组有非零解，于是系数行列式

.

λ 1 λ2 1 λ 1 1 1 λ

.

=0，
将该行列式展开可得到（λ-1）²=0，于是λ=1．
所以A=

1 1 1 1 1 1 1 1 1

，
设矩阵B=

b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

，由AB得到零矩阵，得知b₁₁+b₂₁+b₃₁=0，b₁₂+b₂₂+b₃₂=0，b₁₃+b₂₃+b₃₃=0．
由于只需考虑行列式B的值是否为0，即|B|=

.

b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33

.

是否为零．
作为选择题，可选取特殊值计算当第一列元素为零，第二列于第三列元素互为相反数时，|B|=0，B≠O（不妨选B=

0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1

），于是D不对，只能选C．
故选C．

点评：本小题主要考查线性方程组解的存在性，唯一性、行列式等基础知识，考查运算求解能力，考查与转化思想．属于基础题．