Question

（2013•静安区一模）设P是函数y=x+

2

x

（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则

PA

•

PB

的值是

-1

．

Answer 1

分析：设P（x₀，x0+

2

x0

）（x₀＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得∠APB=

3π

4

，由数量积定义可求．

解答：解：设P（x₀，x0+

2

x0

）（x₀＞0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为
|PA|=

|x0-(x0+ 2 x0 )|

2

=

2

x0

，|PB|=x₀．
∵O、A、P、B四点共圆，所以∠APB=π-∠AOB=

3π

4

∴

PA

•

PB

=

2

x0

•x0•cos

3π

4

=-1
故答案为：-1

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题．