Question

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求A的大小；
（2）求cosB+cosC的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC
∴由正弦定理，得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）
∵△ABC中，B+C=π-A，∴2sinAcosA=sinA，得sinA（2cosA-1）=0
∵A∈（0，π），得sinA＞0，∴2cosA-1=0，得cosA=，得A=
（2）∵B+C=π-A=，得C=-B，
∴cosB+cosC=cosB+cos（-B）=cosB+coscosB+sinsinB=cosB+sinB=sin（B+）
∵B是锐角△ABC的内角，可得B
∴B+，可得sin（B+）的最小值大于sin=
当B=时，sin（B+）有最大值为1
由此可得，cosB+cosC的取值范围是（，1]．
分析：（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，将已知等式化简，得2sinAcosA=sin（B+C），结合三角形内角和定理与诱导公式，得2cosA-1=0，所以A=；
（2）因为A=，结合B是锐角△ABC的内角，可得B．再将cosB+cosC化简整理为sin（B+），结合三角函数的图象与性质，不难得到cosB+cosC的取值范围．
点评：本题在锐角△ABC中，求两个角余弦和的取值范围．着重考查了正弦定理、两角和的正弦公式和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．