Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)+

m

x-1

是[2，+∞]上的增函数，
（i）求实数m的最大值；
（ii）当m取最大值时，求曲线y=g（x）的对称中心．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把x=0代入切线方程，求出的y值为切点的纵坐标，确定出切点坐标，把切点坐标代入f（x）中即可求出b的值，然后求出f（x）的导函数，把x=0代入导函数中，令求出的导函数值等于切线方程的斜率3，即可求出a的值；
（Ⅱ）（i）由g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，得g′(x)=x2-2x+3-

m

(x-1)2

，由g（x）是[2，+∞）上的增函数，知x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出m的最大值．
（ii）由（i）得g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，其图象关于点Q（1，

1

3

）成中心对称．

解答：解：（Ⅰ）把x=0代入y=3x-2中，得：y=-2，
则切点坐标为（0，-2），
把（0，-2）代入f（x）中，得：b=-2，
求导得：f′（x）=x²-2x+a，把x=0代入得：f′（0）=a，
又切线方程的斜率k=3，则a=3．
故a=3，b=-2．
（Ⅱ）（i）由g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，
得g′(x)=x2-2x+3-

m

(x-1)2

，
∵g（x）是[2，+∞）上的增函数，
∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，
设（x-1）²=t，
∵x∈[2，+∞），∴t∈[1，+∞），
即不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立，
当m≤0时，设y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞）在[1，+∞）上恒成立，
当m＞0时，设y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞），
∵y2=1+

m

t2

＞0，∴y=t+2-

m

t

在[1，+∞）上单调递增，
∴y_min=3-m．
∵y_min≥0，∴3-m≥0，∴m≤3，
∵m＞0，∴0＜m≤3，
综上，m的最大值是3．
（ii）由（i）得，当m取最大值3时，
g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
其图象关于点Q（1，

1

3

）成中心对称．
证明如下：
∵g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
∴g（2-x）=

1

3

(2-x)3-(2-x)2+3(2-x)-2+

3

2-x-1

，
∴m取最大值时，曲线y=g（x）的对称中心为Q（1，

1

3

）．

点评：本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查数学与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，研究曲线上某点切线方程的斜率，以及一元二次不等式的解法．要求学生掌握求导法则，采用转化的思想求不等式的解集